Реферат на тему "Топологические пространства"




Реферат на тему

текст обсуждение файлы править категориядобавить материалпродать работу




Курсовая на тему Топологические пространства

скачать

Найти другие подобные рефераты.

Курсовая *
Размер: 132.64 кб.
Язык: русский
Разместил (а): incognito
1 2 3 Следующая страница

добавить материал

§1. Топологические пространства
(предварительные сведения)
1.1.        Непрерывные отображения топологических
пространств
Пусть Х и Y топологические пространства.
Определение 1. Отображение : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз  –1(О) открыт  в пространстве Х.
Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: XY справедливо следующее равенство:
            (1).
Теорема 1.1. Отображение : X является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз 1(F) замкнут в Х.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : XY является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз –1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество открыто в Х, в силу непрерывности отображения f  и равенства (1). Следовательно, множество –1(F) замкнуто в Х.
Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f 1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому  замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f : XY непрерывное по определению. €
1.2. Связность топологических пространств
Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:
Х = О1  О2.
Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.
Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1 CO2 и O2 CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:
Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.
Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.
Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:
(1)  существуют непустые открытые множества О1 и О2, для которых О1 ∩ О2 = Æ  и  О1   О2 Х;
(2)  существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1 ∩ F2 = Æ  и  F1   F2 Х;
(3)  в  Х  существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;
(4)  существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О1 и О2 непустые открытые множества, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1   О2 Х. Рассмотрим множества F1 СО1 и F2 СО2. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F1 ∩ F2 = Æ  и  F1   F2 Х.
Из (2) следует (3). Пусть F1 и Fнепустые замкнутые множества, для которых F1 ∩ F2 = Æ  и  F1   F2 Х. Рассмотрим множество  F1 Ì Х. Множество F1 замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F2 (F1 CF2). Поэтому множество F1 является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.
Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.
Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой
φ(х) =  
Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.
Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества  = {1}  и  = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:
Х φ –1(М) = φ –1(А   В) = φ –1(А  φ –1(В),
причём φ –1(А)  и  φ –1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества  О1 φ –1(А)  и  О2 φ –1(В) непустые, непересекающиеся открытые в  Х  и  Х О1   О2 . €
Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F1  и  F2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1   F2. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F1, либо в F2.
Доказательство. Пусть F1 и F2 дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F1   F2. Тогда
М = (М ∩ F1  (∩ F2).
Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F1 и ∩ F2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например ∩ F2, пустое. Тогда
М М ∩ F1 Í F1. €
Аналогично доказывается
Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О1 и О2 топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.
Теорема 1.5. Пусть : Х→Y непрерывное отображение и (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.
Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества
O1   O2.
В силу того, что непрерывное отображение и (X) = Y, прообразы G1 –1(O1)  и  G2 –1(O2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €
1.3. Компактность топологических пространств
Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.
Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.
Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия  множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х А. Пусть, например,
.
Очевидно, что множества  образуют искомое конечное подпокрытие множества А. €
Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество (Х) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].

 §2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства
Пусть : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yÎY прообраз –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз –1(y) называется слоем (над точкой y).
Определение 11.. Непрерывное отображение : Х→Y называется несвязным над точкой yÎY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка –1(U) является несвязной над каждой окрестностью Í Oy точки y.
Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности Í Oy, т.к., если U1   U2, где  U1U2 – непустые дизъюнктные открытые в U  (а значит и в Y ) множества, то
–1(U) =  –1(U1  f  –1(U2),        –1(U1) ∩  –1(U2) = Æ,
т.е.  –1(U) несвязно автоматически.
Определение 12. Непрерывное отображение : Х→Y называется связным над точкой yÎY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность Í Oy точки y, что трубка  –1(U)  связна.
Определение 13. Непрерывное отображение : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой ΠY.
Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение Х→Y непрерывно и точка ΠY. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1)  отображение f  несвязно над точкой ΠY;
(2)  существует такая окрестность Oy точки ΠY, что каждая трубка –1(U) над окрестностью Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;
(3)  существует такая окрестность Oy точки ΠY, что каждая трубка –1(U) над окрестностью Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;
(4)  существует такая окрестность Oy точки ΠY, что в каждой трубке –1(U) над окрестностью Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;
(5)  существует такая окрестность Oy точки ΠY, что для каждой трубки –1(U) над окрестностью Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция  φ : –1(U) ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение : Х→Y  несвязное над точкой ΠY, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка –1(U) является несвязной над каждой окрестностью Í Oy точки y. Таким образом, трубка –1(U) над окрестностью Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.
–1(U) = О  О2О∩ О= Æ.
Из (2) следует (3). Пусть трубка –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Из (3) следует (4). Пусть трубка –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.
Из (4) следует (5). Пусть в трубке –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки –1(U) существует непрерывная сюръективная функция  φ : –1(U) ® {1, 2}.
Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки  Î Y, что для трубки –1(U) над некоторой окрестностью Í Oy существует непрерывная сюръективная функция  φ : –1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение несвязно над точкой ΠY.
Определение 14. Отображение : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой –1(y), где ΠY, этого отображения является связным множеством.
Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения  ® Y  и  : ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : ® Z, при котором    φ. Тогда, если отображение  f связно над точкой ΠY (слой –1(y) связен), то и отображение  g связно над точкой  Î Y (слой –1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).
Доказательство. Пусть отображения : ®Y связное над точкой  Î Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность Í Oy точки y, трубка над которой –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества  –1(U) (связного слоя –1(y)) связен, т.е. множество       φ(–1(U)) (множество φ–1(y)))  – связное.
Предположим, что отображение g несвязно над точкой  Î Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка –1(U) является несвязной над каждой окрестностью Í Oy точки y. (Предположим, что слой g –1(y) несвязен над точкой ΠY).
По условию,  φ, следовательно,
–1(U) = (  φ–1(U) = φ –1(g–1(U)).
Отсюда, 
φ(–1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)
(для слоя  φ–1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ–1(U)) связное (слой φ–1(y)) связен), а множество  g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.
Пусть отображнение  f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой –1(y) связен). Возьмём произвольную точку ΠY. Если отображение  f связно над этой точкой ΠY (слой –1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой  Î Y (послойно связно). €
2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности
Определение 15. Отображение : XY называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества  Í Х образ  (F) является замкнутым множеством в Y.
Определение 16. Отображение : XY называется замкнутым над точкой yÎY, если для всякой окрестности О слоя 1(y) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой 1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя 1(y):
1(y) Í 1(Oy) Í О.
Связь между замкнутостью  в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая
Лемма 2.1. Непрерывное отображение : XY замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой  yÎY.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение : XY замкнуто. Возьмём произвольную точку  ΠY  и рассмотрим окрестность О множества  1(y). Множество = X О замкнуто в Х и ∩ –1(y) = Æ. Поэтому множество (F) замкнуто в Y и точка Ï f(F). Значит окрестность Oy = Y (F) точки y обладает таким свойством  1(Oy F = Æ, следовательно, 1(Oy) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yÎY в силу того, что точка y взята произвольно.
1 2 3 Следующая страница


Топологические пространства

Скачать курсовую работу бесплатно


Постоянный url этой страницы:
http://referatnatemu.com/10282



вверх страницы

Рейтинг@Mail.ru
Copyright © 2010-2015 referatnatemu.com