Реферат на тему "Производная дифференциал и интеграл"




Реферат на тему

текст обсуждение файлы править категориядобавить материалпродать работу




Контрольная работа на тему Производная дифференциал и интеграл

скачать

Найти другие подобные рефераты.

Контрольная работа *
Размер: 218.98 кб.
Язык: русский
Разместил (а): Рутько Ольга
1 2 Следующая страница

добавить материал

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по высшей математике
Содержание:
 
1. Пределы последовательностей и функций. 2
2. Производная и дифференциал. 3
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4
4. Неопределенный интеграл. 7
5. Определенный интеграл. 9
6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений. 11
Литература. 12

1. Пределы последовательностей и функций

Числовой последовательностью  называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: .
В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.
  при   .
Если последовательность  имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:
.
Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность  сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность ,  и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.
Число А называется пределом функции  в точке , если для любой сходящейся к  последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.
.
Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции  при , если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности  будет меньше e, когда абсолютная величина разности  будет меньше , но больше нуля
,  если      при   .
Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке ».
Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции  при , если для любого числа  существует такое число d, что при всех  справедливо неравенство : .
Теоремы о пределах функций  являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найти предел функции      
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при  не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

2. Производная и дифференциал

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки .
Производной  функции  в точке  называется предел  отношения , когда  (если этот предел существует). Производная функции  в точке  обозначается
.
Например, выражение  следует понимать как производную функции  в точке .
Определение производной можно записать в виде формулы
.                                  (4.1)
Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция  не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция  имеет в точке  бесконечную производную.
В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции  интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что  – это тангенс угла наклона касательной к графику  в точке .
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.
Если функции  дифференцируемы в точке , то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке , и справедливы следующие формулы
.
Если функция  имеет обратную функцию  и в точке  производная , то обратная функция  дифференцируема в точке  и   или  .
Если функция  дифференцируема в точке  и , то сложная функция  также дифференцируема в  и верна следующая формула
   или   .
Пример.
Найти производную функции      
Решение:

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)

Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,
если  то при
 – возрастающая,  – убывающая.
Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).
Точка  называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , а значение  называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки  такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум)  (рис. 1).
у                                max                     у
min
f(х0)                                                      f(х0)
О    х0d                     х0         х0+d     х              О  х0d       х0                    х0+d  х
точка максимума
точка минимума
Рис. 1
Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.
Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.
Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.
1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.
2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения  и .
3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.
4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.
5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.
6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.
Пример. Провести полное исследование функции

Решение:
Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:
  1. найти область определения функции;
  2. исследовать на четность и нечетность функцию;
  3. найти точки разрыва функции;
  4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;
  5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
  6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;
  7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
  8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;
  9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.
Областью определения функции является множество .
Так как  и , то функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция претерпевает разрыв в точке .
Найдем асимптоты графиков функции:
а). Прямая  является вертикальной асимптотой, т.к.
,             
б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) ,
где                  ;

Таким образом, прямая  является единственной наклонной асимптотой и на , и на .
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
а) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью  - .
б) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью  - .
6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.

Из  получаем , откуда , .
+                                 _                                +
______________________________________    x
-3                                            11
Так как на интервалах  и  производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале  производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.
Так как при переходе через точки ,  производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то ,  - точки локального экстремума. Причем   точка локального минимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с  "+" на "-");   - точка локального максимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с  "-" на "+").
7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

Очевидно, что в интервале  вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале  вторая производная больше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).
Несмотря на то, что при переходе через точку  вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как  не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.
Из  получаем , откуда , .
+                                 _                                +
______________________________________    x
-3                                            11
Так как на интервалах  и  производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале  производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.
Так как при переходе через точки ,  производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то ,  - точки локального экстремума. Причем   точка локального минимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с  "+" на "-");   - точка локального максимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с  "-" на "+").

4. Неопределенный интеграл

Часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно: дана функция , найти функцию , такую, что .
Функция  называется первообразной для данной функции  на некотором промежутке Х, если для любого  выполняется равенство
.
Например, пусть , тогда за первообразную можно взять , поскольку .
В основе интегрального исчисления лежит теорема об общем виде первообразной: если  – первообразная для функции  на промежутке Х, то все первообразные для функции  имеют вид , где С – произвольная постоянная.
Выражение вида  описывает все первообразные для функции . Действительно, для любой постоянной С 
.
Пусть наряду с данной первообразной  функция  – также первообразная для . Тогда должны выполняться равенства
,
откуда . Следовательно, разность этих первообразных будет тождественно равна константе  или .
Действие нахождения первообразной называется интегрированием функции.
Доказанная теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления: если  – первообразная для , то совокупность функций , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции , который обозначается следующим образом
.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых , называемых интегральными.
Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция . Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.
Приведем основные свойства неопределенного интеграла:
1. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
;
2. неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций
;
3. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла
.
Значения интегралов от основных элементарных функций получаются из формул дифференцирования этих функций. Приведем таблицу основных интегралов:
1) ;
7) ;
2) ;
8) ;
3) ;
9) ;
4) ;
10)
5) ;
11) ;
6) ;
12) .
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называются табличными.
Пример. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

Решение: Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методом замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем оба метода.
1. Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Тогда

После замены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла: постоянный множитель  можно выносить за знак неопределенного интеграла, и так как , то пришли к табличному интегралу , где  и .
2. Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что  и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде
,
внесем под знак дифференциала . Для этого выпишем дифференциал этой функции . Тогда
1 2 Следующая страница


Производная дифференциал и интеграл

Скачать контрольную работу бесплатно


Постоянный url этой страницы:
http://referatnatemu.com/3076



вверх страницы

Рейтинг@Mail.ru
Copyright © 2010-2015 referatnatemu.com