Реферат на тему "Решение задач по высшей математике"




Реферат на тему

текст обсуждение файлы править категориядобавить материалпродать работу




Контрольная работа на тему Решение задач по высшей математике

скачать

Найти другие подобные рефераты.

Контрольная работа *
Размер: 138.23 кб.
Язык: русский
Разместил (а): брат
1 2 Следующая страница

добавить материал

Задача 10 Даны матрицы
 

1
1
2
2
-1
1
1
0
0
А=
-2
0
2
В=
3
4
-2
Е=
0
1
0
0
-1
0
1
0
-1
0
0
1
Найти матрицу С = 5В – АE + BA -2Е
Решение:
 

  2       -1   1                 1       1     2
BA=      3       4    -2      ·         -2      0     2
  1       0    -1               0       -1    0
 

      2•1+(-1)•(-2)+1•0         2•1+(-1)•0+1•(-1)               2•2+(-1)•2+1•0
        3•1+4•(-2)+(-2)•0       3•1+4•0+(-2)•(-1)               3•2+4•2+(-2)•0
      2•1+(-1)•(-2)+1•0         2•1+(-1)•0+1•(-1)               2•2+(-1)•2+1•0
 

    4       1    2
=   -5      5   14
      1       2    2
 

            10        -5         5                            2       0       0  
5В= 15        20        -10                    2Е=           0     2                                                                                   0                 АЕ=А,
            5          0          -5                          0       0       2  
 

                                                                                                        1   1   2
т.к. Е – единичная матрица     АE  =   -2    0  2
                                                                                                        0   -1  0

10-1+4-2
-5-1+1-0
5-2+2-0
С=
15+2-5-0
20-0+5-2
-10-2+14-0
5-0+1-0
0+1+2-0
-5-0+2-2
11
-5
5
12
23
2
6
3
-5
Задача 20
Решить систему уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера.
x + 2y + z = 5
x - y –2z = -1
2x + y + z = 4
Решение:
Метод Гаусса.
 

1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
1
-1
-2
-1
~
0
-3
-3
-6
~
0
-3
-3
-6
2
1
1
4
0
-3
-1
-6
 
0
0
2
0
2z = 0, z = 0;        -3y -3∙0 = -6, y = 2;             x + 2∙2 + 1∙0 = 5, x  = 1.
Решение системы {1;2;0}
По формулам Крамера:

D - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных,
Dx, Dy, Dz – получаются из D путем замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец свободных членов.
1
2
1
Δ=
1
-1
-2
= -1+1-8+2-2+2= -6
2
1
1

5
2
1
Δx=
-1
-1
-2
= -5-1-16+4+2+10 = -6
4
1
1
X=Δx/Δ= -6/(-6) = 1
1
5
1
Δy=
1
-1
-2
= -1+4-20+2+8-5 = -12
2
4
1
Y=Δy/Δ= -12/(-6) =2
Z=Δz/Δ= 0/(-6) = 0
1
2
5
Δя=
1
-1
-1
= -4+5-4+10+1-8 = 0
2
1
4
Решение системы {1;2;0}
Задача 30
На плоскости задан треугольник координатами своих вершин А(2,3), В(-3,1), С(-4,5)
Найти:
-          длину стороны АВ
-          уравнение стороны АВ
-          уравнение медианы АD
-          уравнение высоты СЕ
-          уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ
-          внутренний угол при вершине А
-          площадь треугольника АВС
-          координаты точки Е
-          сделать чертеж
Решение:
1.     Длина стороны АВ:
½АВ½= » 5,385
2.     Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
;          ;     
у =     - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k­­AB= 2/5
3.      Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.
Координаты середины ВС:
х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3
D (-3,5;3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:
;                     -5,5у = -16,5
у = 3- уравнение прямой АD
3.     Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:
у – у3 = kСЕ (х – х3);       у – 5 = -2,5(х+4)
у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.
5.   Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3ёу3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:
у – у3 = kАВ (х – х3);   у – 5 =  х + ,
 у =  х + , - уравнение прямой, параллельной АВ.
6.     Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:
, где
- длины сторон АВ и АС соответственно.

,
ÐА = arc cos 0,7643 = 40о9'
7.      Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:
S = Ѕç(x2 – x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y­2 – y1)ç;
S= Ѕ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед.
8.   Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:

у = -2,5х -5
у =  
0,4х +2,2 = -2,5х -5               2,9х = -7,2           х = -2,5
у = 6,25 – 5 = 1,25                          Е(-2,5;1,25)
2
-3
4
А
В
E
D
С
3
1
y = x +  
2
1
-1
-2
-4
4
5
0
Х
У
 

Задача 40
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.
у2 +  2x - 2y -1 = 0
Решение:
Выделяем полные квадраты:
у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0
(у - 1)2 = -2(х - 1)
(х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая
у = 1, ветви параболы направлены влево.

У
Х
1
1
 

Задача 50
Вычислить пределы.
1)     
2)     
3)
4)  
так как -первый замечательный предел
5)      ,     (a>0)
Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =

где   -– второй замечательный предел.
Задача 60
Найти производные функций:
1) y =
y¢ =
2) у =    

3) y =
y¢ =
4) y = ctg(excosx);
y¢=
Задача 70
Провести полное исследование функции и построить ее график.
у = ;
Решение:
1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥).
2. Поведение функции на границах области определения:
              
3. у¢= х3 – х2 = х2(x-1);          у¢= 0, если х1 = 0,         х2 = 1;
При х Î (-¥; 0), у¢< 0,  функция убывает.
При х Î (0;1), у¢< 0,  функция убывает.
В точке х = 0 экстремума нет.
При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает.
В точке х =1 функция имеет локальный минимум.
4. уmin = 1/4  1/3 = -  1/12.
5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:
у²= 3х2 – 2х = x(3x-2).
у²= 0, если 2х(6х -1) = 0,      х1 = 0,                  х2 = 2/3;
При х < 0, у²> 0, график вогнутый.
При 0 < х < 2/3, у²< 0, график выпуклый.
При х > 2/3, у²> 0, график вогнутый.
Точки  х1 = 0 и х2 = 2/3  - точки перегиба графика функции.
у(0) = 0,    у(2/3  ) » -0,05
6. Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ.  у = 0,       = 0 х1 = 0, x2 = 4/3
С осью ОУ. х = 0, у= 0.
-1
-2
0
1
1
2
Y
X
min
Точки перегиба
2/3
2
2
-1
-2
 


Задача 80
Найти частные производные первого и второго порядка функций.
z = x2∙sin y + y2∙cos x;
Решение:
      




= .
Задача 90
Дана функция . Показать, что
Решение:

=

         =      
= - = 0, что и требовалось доказать.
Задача 100
Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3  + 8y3 -6xу+1  в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.
Решение:
1.                Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
Y
X
1
2
0
N
K
М
В
С
Q
  
             
           
3x2 = 6y,             y =
24y2 = 6x,         
x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = Ѕ
Точка О(0,0) и точка N (1, Ѕ)
2. Ищем точки экстремумов на границах области:
а) сторона АВ:    х= 0,  -1 £ у £ 1, z = 8у3+1;
24у2,             z¢ = 0, если у = 0, точка (0,0).
б) сторона ВС:    у = 1,  0 £ х £ 2, z = х3 – 6х+9;
2 - 6 = 0,   х2 = 2         х = ± »±1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.
х = 1,4 ,   – точка К (1,4;1)
в) Сторона CD:   х = 2,    -1 £ у £ 1,
z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;
   2у2 = 1,  у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)
г) сторона АD: у = -1,  0 £ х £ 2,   z = х3 + 6х-7;
2 + 6 ≠ 0,   при любых значениях х.
2.       Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.
ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;
ZB = Z(0,1) = 8+1=9;
ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;
ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;
ZK = Z( ,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;
ZO = Z(0,0) = 1;
ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;
ZN = Z(1, ) = 0;
ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;
Zmin = -7, Zmax = 14,7.

Задача 110
Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):
1 2 Следующая страница


Решение задач по высшей математике

Скачать контрольную работу бесплатно


Постоянный url этой страницы:
http://referatnatemu.com/33032



вверх страницы

Рейтинг@Mail.ru
Copyright © 2010-2015 referatnatemu.com