Реферат на тему "Численные методы решения систем линейных уравнений"




Реферат на тему

текст обсуждение файлы править категориядобавить материалпродать работу




Курсовая на тему Численные методы решения систем линейных уравнений

скачать

Найти другие подобные рефераты.

Курсовая *
Размер: 334.3 кб.
Язык: русский
Разместил (а): Танюшка
Предыдущая страница 1 2 3 4 Следующая страница

добавить материал

-2x2 = 1-9/5,
-2x2 = -4/5,
x2 = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5.
Корень x2 = 2/5 найден. Подставим его и корень х3 в верхнее (первое) уравнение системы (x1-x2+x3 = 0):
x1-2/5+(-3/5) = 0,
x1-5/5 = 0,
x1 = 5/5 = 1.
Проверка:

т. е.

т. е.

и т. д.
Вывод.
Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем:
1.                 Путем элементарных преобразований систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с верхне-треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.
2.                 Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).
3.                 При этом все преобразования проводятся над так называемой расширенной матрицей системы, которую и приводят к верхнее - треугольному виду в прямом ходе метода.

Итерация для линейных систем.
Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы, подобно тому, как это делается для одного уравнения.
Для определенности ограничимся системой из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (система четвертого порядка), которую запишем в виде:

Разрешим первое уравнение системы относительно х1:
х1 = (-a12/a112-a13/a11х3-a14/a11х4-a15/a11.
Затем разрешим второе уравнение относительно х2 и т. д. Тогда систему можно переписать в виде:

где α = -aik/aii, i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5.
Система является частным случаем записи вида:

При этом  линейная функция L1 фактически не зависит от х1.
Зададим какие-либо начальные значения неизвестных (нулевые приближения):
х1(0), х2(0), х3(0), х4(0).
Подставляя эти значения в правые части системы (*), получим первые приближения:

Полученные первые приближения могут быть так же использованы для получения вторых, третьих и т. д. приближений. Т. е. можно записать:

Условия сходимости итерационного процесса.
Установим условия, выполнение которых обеспечит сходимость получающихся приближений к истинному (точному) решению системы х1, х2, х3, х4.
Не вдаваясь в подробности, скажем, что для того чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.
Это условие можно сформулировать и более точно:
Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы:

Итерация Якоби.
Рассмотрим систему линейных уравнений:

Уравнения можно записать в виде:

Это позволяет предложить следующий итерационный процесс:

или (другой вид записи)

Покажем, что если начать с точки P0 = (х1(0), х2(0), х3(0), х4(0)) = (1, 2, 2), то итерация (3) сходится к решению (2, 4, 3). Подставим х1 = 1, х2 = 2, х2 = 2 в правую часть каждого уравнения из (3), чтобы получить новые значения:

Новая точка P1 = (х1(1), х2(1), х3(1), х4(1)) = (1.75, 3.375, 3), ближе, чем P0.
Итерация, использующая (3), генерирует последовательность точек {Pk}, которая сходится к решению (2, 4, 3):
k
х1(k)
  х2(k)
х3(k)
0
1.0
2.0
2.0
1
1.75
3.375
3.0
2
1.84375
3.875
3.025
3
1.9625
3.925
2.9625
4
1.990625
3.9765625
3.0
5
1.99414063
3.9953125
3.0009375




15
1.99999993
3.99999985
3.0009375




19
2.0
4.0
3.0
Этот процесс называется итерацией Якоби и может использоваться для решения определенных типов линейных систем.
Итерация Гаусса-Зейделя.
Процесс итерации Якоби иногда можно модифицировать для ускорения сходимости.
Отметим, что итеративный процесс Якоби производит три последовательности – {х1(k)}, {х2(k)}, {х3(k)}, {х4(k)}. Кажется разумным, что х1(k+1) может быть использовано вместо х2(k). Аналогично х1(k+1) и х2(k+1) можно использовать в вычислении х3(k+1). Например, для уравнений из системы (1) это даст следующий вид итерационного процесса Гаусса-Зейделя, использующий (3*):

Такой итерационный процесс даст результаты:
k
х1(k)
х2(k)
х3(k)
0
1.0
2.0
2.0
1
1.75
3.75
2.95
2
1.95
3.96875
2.98625
3
1.995625
3.99609375
2.99903125




8
1.99999983
3.99999988
2.99999996
9
1.99999998
3.99999999
3.0
10
2.0
4.0
3.0
Т. е. к точному решению мы пришли уже на 10-ом шаге итерации, а не на 19, как в итерации Якоби.
Вывод.
1.                 Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы. Для этого система приводится к виду (для случая системы из четырех уравнений):

Эти формулы как раз и задают собственно итерационный процесс.
2.                 При этом чтобы итерационный процесс сходился к точному решению, достаточно, чтобы все коэффициенты системы были малы по сравнению с диагональными.
Это условие можно сформулировать и более точно:
Для сходимости процесса итераций достаточно, чтобы в каждом столбце сумма отношений коэффициентов системы к диагональным элементам, взятым из той же строки, была строго меньше единицы:

3.                 Следует так же сказать, что итерационный процесс может проводиться как в виде итерации Якоби, так и в виде итерации Гаусса-Зейделя. В последнем случае сходимость итерационного процесса может существенно улучшиться.

                                                                     II.                Практическая часть.
1) Метод обратной матрицы.
Метод обратной матрицы
x1
x2
x3
x4
12
-4
0
6
2
A=
-4
21
5
3
B=
4
-3
2
-22
1
-2
-2
-3
5
23
4
0,083
0,013
-0,002
-0,023
A-1=
0,016
0,048
0,009
-0,011
-0,009
0,003
-0,044
0,004
0,011
0,007
0,010
0,039
x=
0,129
0,165
0,097
0,186


2) Метод Крамера.
Метод Крамера
x1
x2
x3
x4
12
-4
0
6
2
A=
-4
21
5
3
B=
4
-3
2
-22
1
-2
-2
-3
5
23
4
'A'=
-134088
2
-4
0
6
A1=
4
21
5
3
-2
2
-22
1
4
-3
5
23
'A1'=
-17296
x1=
0,129
12
2
0
6
A2=
-4
4
5
3
-3
-2
-22
1
-2
4
5
23
'A2'=
-22188
x2=
0,165
12
-4
2
6
A3=
-4
21
4
3
-3
2
-2
1
-2
-3
4
23
'A3'=
-12980
x3=
0,097
12
-4
0
2
A4=
-4
21
5
4
-3
2
-22
-2
-2
-3
5
4
'A4'=
-24896
x4=
0,186
x=
0,129
0,165
0,097
0,186


3) Метод Гаусса.
Метод Гаусса
x1
x2
x3
x4
12
-4
0
6
2
A=
-4
21
5
3
B=
4
-3
2
-22
1
-2
-2
-3
5
23
4
'A'=
-134088
1,000
-0,333
0,000
0,500
0,167
-4,000
21,000
5,000
3,000
4,000
-3,000
2,000
-22,000
1,000
-2,000
-2,000
-3,000
5,000
23,000
4,000
1,000
-0,333
0,000
0,500
0,167
0,000
25,333
5,000
5,000
4,667
0,000
1,000
-22,000
2,500
-1,500
0,000
-3,667
5,000
24,000
4,333
1,000
-0,333
0,000
0,500
0,167
0,000
1,000
0,197
0,197
0,184
0,000
0,000
-22,197
2,303
-1,684
0,000
0,000
5,724
24,724
5,009
1,000
-0,333
0,000
0,500
0,167
0,000
1,000
0,197
0,197
0,184
0,000
0,000
1,000
-0,104
0,076
0,000
0,000
0,000
25,317
4,574
x=
0,120
0,130
0,095
0,181

4) Листинг программы (Метод Крамера, Метод Гаусса, Метод обратной матрицы).
Begin VB.Form frmAriel
   BorderStyle     =   1  'Единственный Фиксированный
   Caption         =   "Решение систем линейных уравнений"
   ClientHeight    =   6315
   ClientLeft      =   4365
   ClientTop       =   2430
   ClientWidth     =   7815
   BeginProperty Font
      Name            =   "MS Sans Serif"
      Size            =   12
      Charset         =   204
      Weight          =   700
      Underline       =   0   'False
      Italic          =   -1  'True
      Strikethrough   =   0   'False
   EndProperty
   LinkTopic       =   "Форма1"
   MaxButton       =   0   'False
   MinButton       =   0   'False
   ScaleHeight     =   6315
   ScaleWidth      =   7815
   Begin VB.TextBox txtMOMZ
      Alignment       =   2  'Выравнивание по Центру
      BeginProperty Font
         Name            =   "Times New Roman"
         Size            =   15.75
         Charset         =   204
         Weight          =   400
         Underline       =   0   'False
         Italic          =   0   'False
         Strikethrough   =   0   'False
Предыдущая страница 1 2 3 4 Следующая страница


Численные методы решения систем линейных уравнений

Скачать курсовую работу бесплатно


Постоянный url этой страницы:
http://referatnatemu.com/?id=15034&часть=2



вверх страницы

Рейтинг@Mail.ru
Copyright © 2010-2015 referatnatemu.com