Канашский филиал КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
По математике
Вариант
3 Студента 1 курса экономического факультета
Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06
Работа выслана в Чувашский госуниверситет
«____» ____________2006 г.
Передана на кафедру «Экономики и управления»
Оценка___________ «___» _____________2006г.
Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич
Возвращена в деканат______________________
Математика
Вариант 3
Даны вершины А(х
1;у
1) ,В(х
2;у
2), С(х
3;у
3) треугольника. Требуется найти: 1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла
;
7)угол
в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.
вариант 3: А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8).
Решение:
1)Длина стороны ВС:
;
2)Длина стороны АВ:
.zip" v:shapes="_x0000_i1029">
;
Скалярное произведение векторов
и
Угол
:
cos =
;
=
arcos 0,2462=75,75 
; 3) Уравнение стороны ВС:
;
;
;
;
;
4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:
;
;
Условие перпендикулярности двух прямых:
;
;
;
;
;
;
5) Длина высоты, проведенной из вершины А:
6)
Уравнение прямой АС:
Уравнение биссектрисы внутреннего угла
: 
7) Угол
в радианах с точностью до 0,01:
8) Уравнение стороны ВС:
Уравнение стороны АС:
Уравнение стороны АВ:
Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника. 
SHAPE \* MERGEFORMAT 
Задание 13. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0). Решение: Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А: 
По условию задачи 
Искомые прямые: 
Задание 23. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж. Решение: 
По условию задачи: 
- уравнение гиперболы с центром в точке 
и полуосями 
SHAPE \* MERGEFORMAT
Задание 33.
Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой
с окружностью
и ось
является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.
Решение.
Рассмотрим уравнение окружности:
Найдем точки пересечения окружности и прямой.
Координаты точек пересечения окружности и прямой
т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид
учитывая что
найдем параметр
p 
Таким образом, уравнение параболы
Уравнение директрисы параболы:
SHAPE \* MERGEFORMAT
Задание 43.
Дано уравнение параболы
f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат
XO1Y уравнение параболы приняло вид
X2=aY или
Y2=aX. Построить обе системы координат и параболу.
Решение:
SHAPE \* MERGEFORMAT
Задание 53
Даны вершины
А1(Х1;Y1;Z1),. А2(Х2;Y2;Z2), А3(Х3;Y3;Z3), А4(Х4;Y4;Z4) пирамиды. Требуется найти: 1) длину ребра
А1А2; 2)Угол между ребрами
А1А2 и
А1А4; 3)угол между ребром
А1А2 и гранью
А1А2 А3; 4) площадь грани
А1А2 А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины
А4 на грань
А1А2 А3; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины
А4 на грань
А1А2 А3, и вершину
А1 пирамиды.
A1 (3;5;4), А2(5;8;3), А3(1;9;9), A4(6;4;8);
Решение:
1)
Длина ребра
А1А2; 
2)
Длина ребра
А1А4; 
Скалярное произведение векторов
А1А2 и
А1А4:
Угол между ребрами
А1А2 и
А1А4:
3) Уравнение грани
А1А2 А3:
Угол между ребром
А1А2 и гранью
А1А2 А3:
4)Площадь грани
А1А2А3:
кв. ед.
5) Объем пирамиды:
куб. ед.
6) уравнение высоты, опущенной из вершины
А4 на грань
А1А2 А3:
7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины
А4 на грань
А1А2 А3, и вершину
А1 пирамиды.
Задание 63.
Определить вид поверхности, заданной уравнением
f(x;y;z)=0, и показать её расположение относительно системы координат.
Решение:
Эллиптический параболоид с вершиной
О(z;o;o), направленный вдоль оси
ОХ, и имеющий полуоси на оси
по оси
SHAPE \* MERGEFORMAT
Задание 73.
Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.
Решение:
2
| -9
| -4
| -3
| 3
| | -83
| = >
= >
| 0
| -47
| -28
| -13
| 7
| | -459
|
2
| -7
| -2
| -1
| -4
| | -57
| 0
| -45
| -26
| -11
| 0
| | -433
|
7
| -6
| 2
| -2
| 0
| | -35
| 0
| -139
| -82
| -37
| -14
| | -1351
|
1
| 19
| 12
| 5
| -2
| | 188
| 1
| 19
| 12
| 5
| -2
| | 188
|
| | |
0
| -47/7
| -4
| -13/7
| 1
| | -459/7
| 0
| 68/77
| 30/77
| 0
| 1
| | 980/77
|
0
| -45
| -26
| -11
| 0
| | -433
| 0
| 45/11
| 26/11
| 1
| 0
| | 433/11
|
0
| -233
| -138
| -63
| 0
| | -2269
| 0
| 272/11
| 120/11
| 0
| 0
| | 2320/11
|
1
| 39/7
| 4
| 3/7
| 0
| | 398/7
| 1
| 94/77
| -190/77
| 0
| 0
| | 481/77
|
| | |
0
| 0
| 0
| 0
| 1
| | -2900/77
| |
0
| -19/15
| 0
| 1
| 0
| | -2583/11
| |
0
| 13,6
| 1
| 0
| 0
| | 116
| |
1
| 1574/231
| 0
| 0
| 0
| | 22521/77
| |
Общее решение системы:
Задание 83. Даны векторы 
и 
. Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе. 
Решение: Составим определитель из координат векторов 
и вычислим его: 
Так как 
,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора 
в этом базисе: 
2
| -10
| 0
| -4
| | -42
| = >
| 0
| -20
| 4
| -4
| | -88
| = >
| 0
| 48
| -12
| | | 252
|
4
| -9
| 10
| 3
| | -43
| 0
| -29
| 18
| 3
| | -135
| 0
| -80
| 30
| | | -350
|
2
| -7
| 0
| -1
| | -39
| 0
| -17
| 4
| -1
| | -85
| 0
| 17
| -4
| | | 85
|
1
| 5
| -2
| 0
| | 23
| 1
| 5
| -2
| 0
| | 23
| 1
| 5
| -2
| | | 23
|
0
| -4
| 1
| 0
| | -21
| = >
| 0
| 0
| 1
| 0
| | 3
|
0
| 40
| 0
| 0
| | 240
| 0
| 1
| 0
| 0
| | 6
|
0
| 1
| 0
| 1
| | 1
| 0
| 0
| 0
| 1
| | -5
|
1
| -3
| 0
| 0
| | -19
| 1
| 0
| 0
| 0
| | -1
|
Итак
Проверка:
2(-1)-10*6 -4(-5)=-42; -42=-42;
4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43; -43=-43;
2(-1)-7*6- -(-5)=-39; -39=-39;
-1+5*6-2*3 =23; 23=23.
или
Задание 93.
Дана матрица
А . Требуется найти: 1) матрицу, обратную матрице
А; 2) собственные значения и собственные векторы матрицы
А.
Решение:
-1
| -2
| 12
| | 1
| 0
| 0
| | 1
| 2
| -12
| | -1
| 0
| 0
|
0
| 4
| 3
| | 0
| 1
| 0
| 0
| 4
| 3
| | 0
| 1
| 0
|
0
| 5
| 6
| | 0
| 0
| 1
| 0
| 5
| 6
| | 0
| 0
| 1
|
| |
1
| 0
| -13,5
| | -1
| -0,5
| 0
| | 1
| 0
| 0
| | -1
| -8
| 6
|
0
| 1
| 0,75
| | 0
| 0,25
| 0
| 0
| 1
| 0
| | 0
| 6/9
| -3/9
|
0
| 0
| 2,29
| | 0
| -1,25
| 1
| 0
| 0
| 1
| | 0
| -5/9
| 4/9
|
Обратная матрица:
Корни характеристического уравнения:
- собственные значения матрицы
А .
При
Собственный вектор:
Задание 103.
Построить график функции
y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции
y=sin x. 
Решение:
SHAPE \* MERGEFORMAT
| -2П -3/2П -П -П/2 П/2 П 3/2П 2П
|
| Y=-6/5sin(2/3x+1)
-6/5
X
-6/5
|
| Сжатие вдоль оси ОХ в 2/3 раза
|
| Сдвиг влево на 1 вдоль оси ОХ
|
| Растягивание в 6/5 раза и
переворот вдоль OY
|
Задание 113.
Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).
Решение:
Подстановка:
Задание 123.
Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x
1,x
2,x
3. Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.
Решение:
Так как
,то функция в точке Х
1=-1 непрерывна.
Так как
,то функция в точке х=3 разрывная.
Так как
,то функция в точке х=7 непрерывна.
SHAPE \* MERGEFORMAT
