МОСКОВСКИЙ КИНОВИДЕОИНСТИТУТ (филиал) САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ КУРСОВАЯ РАБОТА «Экономико-математические методы и прикладные модели» Выполнила студентка 3-го курса (ускоренный) Ющак Е.В. Преподаватель Манцев А.П. г. Москва, 2002 I. Введение. Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов и моделей. Эти модели линейного и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.
Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и моделям прогнозирования конъюнктуры рынка и определения цен, моделям и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.
Немалое место отводится моделям оптимального отраслевого и регионального регулирования – экономико-математическим моделям проекта развития отдельных отраслей промышленности. Это такие важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса региона.
Основным понятием является понятие математической модели. В общем случае слово модель – это отражение реального объекта. Такое отражение объекта может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель – это система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и взаимосвязи между ними. Процесс построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование и построение математической модели экономического объекта позволяют свести экономический анализ производственных процессов к математическому анализу и принятию эффективных решений.
Поскольку нами изучаются экономические задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:
1) выбор некоторого числа переменных величин для формализации модели объекта;
2) информационную базу данных объекта;
3) выражение взаимосвязей, характеризующих объект, в виде уравнений и неравенств;
4) выбор критерия эффективности и выражение его в виде математического соотношения – целевой функции.
Итак, для принятия эффективных решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в виде уравнений, неравенств и целевой функции на экстремум (максимум или минимум) при выполнении всех условий на ограничения и переменные.
II. Основные понятия моделирования. 2.1. Общие понятия и определение модели
.
Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение является экономическим. Описание экономических условий математическими соотношениями – результат того, что модель устанавливает связи и зависимости между экономическими параметрами или величинами.
По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.
Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.
Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция – функция многих переменных величин и может иметь свободный член.
Критерии оптимальности – экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.
Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным. Среди допустимых планов, удовлетворяющих целевой функции, как правило, имеется единственный план, для которого целевая функция и критерий оптимальности имеют максимальное или минимальное значение. Если модель задачи имеет множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой функции одинаково.
Если экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных значений целевой функции может быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы и экстремальные значения целевой функции. План, для которого целевая функция модели имеет экстремальное значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением.
Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой функции, а для линейных моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может.
Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение.
Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.
Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям.
2.2. Постановка задач оптимизации
В общем виде задача оптимизации, или задача определения экстремума, ставится следующим образом.
Пусть заданы:
функция f(X), определенная на множестве O Í R
N ;
множество D Í R
N.
Найти точку Y = (y
1, y
2,..., y
N) Î D, в которой функция f (X) достигает экстремального (минимального или максимального) значения, т.е.
f(X) = extr f(X) и Y Î D.
Функция f(X) называется целевой функцией, переменные X – управляемыми переменными, D – допустимым множеством и любой набор значений Y управляемых переменных, принадлежащий D (Y Î D), - допустимым решением задачи оптимизации.
Понятно, что искомая точка Y, в которой f(X) достигает своего экстремума, должна принадлежать пересечению области определения O функции f(X) и допустимого множества D (YÎ O Ç D). Если множества O и D совпадают со всем пространством R
N (O = D = R
N), то такая задача называется задачей на безусловный экстремум. Если хотя бы одно из множеств O или D является собственным подмножеством пространства R
N (O Ì R
N , D Ì R
N) или множества O и D пересекаются (O Ç D ¹ Æ), то такая задача называется задачей на условный экстремум, в противном случае (O Ç D = Æ) точка экстремума Y не существует. Подчеркнем один частный случай: если множества O и D пересекаются в одной точке Y, то эта точка Y является единственным допустимым решением.
Обычно в задаче условного экстремума задается не само допустимое множество решений D, а система соотношений, его определяющая,
y
j (x
1, х
2, х
N) £ (=, ³) 0, j = 1, 2, … М,
т.е.
D = {X: yj (X) £ (=, ³) 0, j = 1, 2, ... , M} Í R
N,
или множество D может одновременно задаваться как в явном виде, т.е. допустимое решение Х должно принадлежать некоторой области P Ì R
N, так и системой ограничений.
III. Методы линейного программирования. 3.1. Общая и типовая задача в линейном программировании.
Оптимизационная задача – это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.
В самом общем виде задача математически записывается так:
U = f(X) ® max; X Î W,
Где X = (Х1, Х2,…, Хn);
W – область допустимых значений переменных Х1, Х2,…, Хn;
f(X) – целевая функция.
Для того, чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать X() Î W такое, что f(X()) ³ f(X), при любом X Î W, или для случая минимизации - что f(X()) ≤ f(X), при любом X Î W.
Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет неразрешима, если целевая функция f(X) не ограничена сверху на допустимом множестве W.
Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции f(X), так и от строения допустимого множества W. Если целевая функция в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.
В математическом программировании принято выделять следующие основные задачи в зависимости от вида целевой функции f(X) и от области W:
· задачи линейного программирования, если f(X) и W линейны;
· задачи целочисленного программирования, если ставится условие целочисленности переменных Х1, Х2,…, Хn;
· задачи нелинейного программирования, если форма f(X) носит нелинейный характер.
Задачи линейного программирования. Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:
f(X) = å СjXj ® max(min);
å aij xj = bi, iÎI, IÍM = {1, 2,…m};
å aij xj £ bi, iÎM;
Xj³0, jÎJ, JÍN = {1, 2,…n}.
При этом система линейных уравнений и неравенств, определяющая допустимое множество решений задачи W, называется системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(X) называется целевой функцией или критерием оптимальности.
Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.
Правило приведения задачи линейного программирования к каноническому виду состоит в следующем:
1) если в исходной задаче требуется определить максимум линейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;
2) если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на -1;
3) если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобразуются в равенства;
4) если некоторая переменная Хk не имеет ограничений по знаку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными::
Xk = X`k – X
l, где
l – свободный индекс, X`k ³ 0, Xk ³ 0.
3.2. Постановка задачи линейного программирования
Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), но n потребителям этих ресурсов.
На автомобильном транспорте часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:
· прикрепление потребителей ресурса к производителям;
· привязка пунктов отправления к пунктам назначения;
· взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;
· отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;
· оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями.
Транспортным задачам присущи следующие особенности:
· распределению подлежат однородные ресурсы;
· условия задачи описываются только уравнениями;
· все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;
· во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;
· каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.
Транспортные задачи могут решаться симплекс-методом.
3.3. Решение транспортной задачи
Мощности
постав-
щиков
140
| Мощности потребителей
| U i
|
18
| 15
| 32
| 45
| 30
|
30
| 10
| 7/15
| 14
| 8/5
| 7/10
| 0
|
40
| 12
| 8
| 10
| 8/40
| 15
| 0
|
25
| 6/18
| 10
| 10
| 12
| 14/7
| -7
|
45
| 16
| 10
| 8/32
| 12
| 16/13
| -9
|
Vj
| -1
| 7
| -1
| 8
| 7
|
|
Начальное распределение выберем по методу наименьших стоимостей. Порядок заполнения клеток: (3,1), (1,2), (4,3). (2,4), (1,5), (1,4), (3,5), (4,5)
Суммарные затраты:
f(x) = 6´18+7´15+8´32+8´5+8´40+7´10+14´7+16´13=1107
Рассмотрим процесс нахождения потенциалов для данного распределения.
Положим, Ui=0 Þ V2=U1+C12=7; V5=U1+C15=7=U3+14=U4+16 Þ U3= -7, U4= -9; V3=U4+C43= -1; V4=U2+8=U1+8 Þ U2=U1=0; V4=8.
Найдем оценки: d
ij=(U
i+c
ij)-V
j:
11 0 15 0 0
(dij) = 13 1 11 0 8
0 -4 4 -3 0
8 -6 0 -5 0
Данный план не является оптимальным, т.к. есть отрицательные оценки.
Построим контур перераспределения для клетки (4,2). Наименьшая поставка в вершине контура со знаком “-” равна 13, поэтому проведем перераспределение поставок, уменьшив поставки в клетках со знаком “-” на 13 и увеличив поставки в клетках со знаком “+” на 13. результаты поставлены в таблице 2.
Мощности
постав-
щиков
140
| Мощности потребителей
| U i
|
18
| 15
| 32
| 45
| 30
|
30
| 10
| 7/2
| 14
| 8/5
| 7/23
| 0
|
40
| 12
| 8
| 10
| 8/40
| 15
| 0
|
25
| 6/18
| 10
| 10
| 12
| 14/7
| -7
|
45
| 16
| 10/13
| 8/32
| 12
| 16
| -3
|
Vj
| -1
| 7
| 5
| 8
| 7
|
|
