Реферат на тему "Афинные преобразования на плоскости"




Реферат на тему

текст обсуждение файлы править категориядобавить материалпродать работу




Реферат на тему Афинные преобразования на плоскости

скачать

Найти другие подобные рефераты.

Реферат *
Размер: 29.42 кб.
Язык: русский
Разместил (а): Egik
Предыдущая страница 1 2 3

добавить материал

 
cos sin 0
0    -sin cos     0
0         0         0         1
Матрица вращения вокруг оси ординат на угол 
 

 
           [ Ry ] =
 
cos       0   -sin    0
(4.2)
 
0         1
sin      0cos     0
0         0         0         1
Матрица вращения вокруг оси аппикат на угол :
 

 
           [ Rz ] =
 
cos    sin      0      0
-sin
(4.3)
 
cos 0      0
0         0    0
0         0            0      1
Полезно обратить внимание на место знака « - » в каждой из трех приведенных матриц.
Б. Матрица растяжения-сжатия:
 


[ D ] =
 
                                     (4.4)
 



где
 > 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс;
> 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат;
> 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.

В. Матрицы отражения
Матрица отражения относительно плоскости ху:
 

      [ Mz ] =
 
                                     (4.5)
 



Матрица отражения относительно плоскости yz:
 


[ Mx ] =
 
                                     (4.6)
 



  Матрица отражения относительно плоскости zx:
 


[ My ] =
 
                                     (4.7)
 



Г. Матрица переноса (здесь (вектор переноса):
 


[ T ] =
 
                                     (4.8)
 



Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырождены.
Приведем важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.
Пример 3. Построить матрицу вращения на угол  вокруг прямой L, проходящей через точку А (a, b, c) и имеющую направляющий вектор (l, m, n). Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:
l2 + m2 + n2 = 1
На рис. 10 схематично показано, матрицу какого преобразования требуется найти.
Z
 
Y
 
                                                                                                                                                L                                                                          
 

X
Рис. 10
Решение сформулированной задачи разбивается на несколько шагов. Опишем последовательно каждый из них.
1-й  шаг. Перенос на вектор –А (-a, -b, -c) при помощи матрицы
 


[ T ] =
 
                                     (4.9)
 


-a     -b     -c      1
          В результате этого преноса мы добиваемся того, чтобы прямая L проходила через начало координат.
          2-й  шаг. Совмещение оси аппликат-с прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат.
          1-й поворот – вокруг оси абсцисс на угол (подлежащий определению). Чтобы найти этот угол, рассмотрим ортогональную проекцию L’ исходной прямой L на плоскость X = 0 (рис. 11).
 
Z
 
X
 
                      L’    L                   
                                                 Y
                              
 

        0
 

Рис. 11
Направляющий вектор прямой L’ определяется просто – он равен
(0, m, n).
Отсюда сразу же вытекает, что
cos n / d,       sin = m / d,                                                                (4.10)
где
                                                          d =     m2 + n2                                                    (4.11)
          Соответствующая матрица вращения имеет следующий вид:
 

1      0      0      0
                                (4.12)
 
[ Rx ] =
 
0    n/d    m/d   0
0    -m/d   n/d   0
0      0      0      1
Под действием преобразования, описываемого этой матрицей, координаты вектора (l, m, n) изменятся. Подсчитав их, в результате получим
                          (l, m, n, 1)[ Rx ] = (l, 0, d, 1).                                     (4.13)
2-й поворот вокруг оси оси ординат на угол , определяемый соотношениями
                                 сos  = l,  sin  = -d                                             (4.14)
Cоответствующая матрица вращения записывается в следующем виде:
ld
[ Ry ] =
 
                                     (4.15)
 

-dl

3-й  шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол 
Так ка теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то соответствующая матрица имеет следующий вид:
 

 
           [ Rz ] =
 
cos    sin      0      0
-sin
(4.16)
 
cos 0      0
0         0    0
0         0            0      1
4-й  шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -
5-й  шаг. Поворот вокруг оси абсцисс на угол -
Однако вращение в пространстве некоммутативно. Поэтому порядок, в котором проводятся вращения, является весьма существенным.
6-й  шаг. Перенос на вектор А (a, b, c).
Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим следующую матрицу:
[ T ][ Rx ][ Ry ][ Rz ][ Ry ]-1[ Rx ]-1 [ T ]-1.
Выпишем окончательный результат, считая для простоты, что ось вращения ходит через начальную точку.
 

l2 + cos (1 – l2)               l(1 – cos m + n sin l(1 – cos )n – m sin     0
l(1 – cos m – n sin m2 + cos 1 – m2)                   m(1 – cos n + lsin 0
l(1 – cos n + m sin m(1 – cos n – lsin n2 + cos - n2)              0
0                                          0                                                0                         1
Рассматривая примеры подобного рода, мы будем получать в результате невырожденные матрицы вида

[ А ] =
 
                                     (4.17)
 



При помощи таких матриц можно преобразовать любые плоские и пространственные фигуры.
Пример 4.  Требуется подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник.
Для этого сначала по геометрическому описанию отображения находим его матрицу [ A ]. Замечая далее, что произвольный выпуклый многогранник однозначно задается набором всех своих вершин
Vi ( xi,  yi,  zi),   i = 1,…,n,

Строим матрицу
 

x1      y1      z1      1
                                          V =       .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                              (4.18)
xn      yn      zn      1
Подвергая этот набор преобразованию, описываемому найденной невырожденной матрицей четвертого порядка, [ V ][ A ], мы получаем набор вершин нового выпуклого многогранника – образа исходного (рис. 12).
      Z
 

        0                                       
                                                Y    
      X
Рис. 11

5. Заключение
Учитывая вышеописанные принципы, была разработана программа моделирования синтеза металлорежущих станков, которая наглядно показывает зависимость компоновки станка от формы обрабатываемой поверхности через код компоновки, а также возможность построения модели станка из стандартных узлов для последующей оценки компоновки. В виду того, что данная программа разрабатывалась как исследование, в ней лишь наглядно демонстрируется модель станка для обработки произвольной поверхности.
Программа построена на основе принципов объектно-ориентированного программирования (ООП). Такой подход был признан оптимальным для данной задачи с учетом того, что модель станка строится на основе компоновочного кода. При реализации сначала была рассмотрена цепочка узлов, представляющая станок. Это привело к трудностям и неудобству реализации отображения 3-х мерной модели в эмулированном графическом пространстве. Поэтому была реализована концепция, рассматривающая станок, как “дерево” объектов, исходя из того, что один из узлов станка, а именно станина, является неподвижным и зафиксированным жесткой привязкой к системе координат. Таким образом, полученная модель представляла собой объект, из которого выходили две “ветви” объектов.
Принципы ООП позволили создать базовый класс, из которого были получены дочерние классы для станины и остальных узлов. Каждый объект инкапсулировал свои свойства и “видел” лишь свои геометрические размеры и координаты, в которые он должен быть помещен, в результате чего модель получилась гибкой.

6. Список используемой литературы.
1.    Шишкин Е. В., Боресков А. В. Компьютерная графика. М.: Диалог-МИФИ, 1995. – 288 с., ил.
2.  Вайсберг А. В., Гриценко М. Е. Формирование структуры станка на ранних стадиях проектирования. – Точность автоматизированных производств (ТАП – 97). Сборник статей международной научно-технической конференции. Пенза, 1997., с. 52 – 53.
Предыдущая страница 1 2 3


Афинные преобразования на плоскости

Скачать реферат бесплатно


Постоянный url этой страницы:
http://referatnatemu.com/?id=15111&часть=3


Найти другие подобные рефераты.

Категории рефератов:


Астрономия, космонавтика и авиация

Банковское, биржевое дело и страховка

Безопасность жизнедеятельности и охрана труда

Биология и естествознание

Бухгалтерский учет и аудит

Военное дело и гражданская оборона

География и экономическая география

Геология, гидрология и геодезия

Государство и право

Журналистика, издательское дело и СМИ

Иностранные языки и языкознание

История и исторические личности

Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника

Краеведение и этнография

Кулинария и продукты питания

Культура и искусство

Литература

Логика

Маркетинг, реклама и торговля

Математика

Медицина

Международные отношения и мировая экономика

Менеджмент и трудовые отношения

Музыка

Педагогика

Политология

Программирование, компьютеры, информатика и кибернетика

Производство и технологии

Психология

Разное

Религия и мифология

Сельское, лесное хозяйство и землепользование

Социология и обществознание

Спорт и туризм

Строительство и архитектура

Таможенная система

Транспорт

Физика и энергетика

Философия

Финансы, деньги и налоги

Химия

Экология и охрана природы

Экология и экономическая теория

Экономика

Экономико-математическое моделирование

Этика и эстетика



Рейтинг@Mail.ru
Copyright © 2010-2015 referatnatemu.com