Реферат на тему "Використання комп ютерів у фізиці"




Реферат на тему

текст обсуждение файлы править категориядобавить материалпродать работу




Реферат на тему Використання комп ютерів у фізиці

скачать

Найти другие подобные рефераты.

Реферат *
Размер: 154.49 кб.
Язык: украинский
Разместил (а): money
Предыдущая страница 1 2

добавить материал

Ex (z,t) і Ey(z,t) Для монохроматичної хвилі =const, але компоненти коливаються незалежно.


Щоб сумарне поле знайти треба векторно скласти компоненти.
8.7. Геометрична оптика і принцип найменшого часу.
Геометричною оптикою можна користуватись, коли <<l, l – розмір перепон чи детекторів.
Для променів, що розповсюджуються, виконується принцип Ферма: промінь світла йде по шляху між двома точками, який вимагає найменшого часу.
Аналогічний принцип найменшої дії використовується замість законів Ньютона у якості фундамента всієї класичної механіки. В однорідному середовищі світло поширюється прямолінійно.
Розглянемо дзеркало:
a + b = d
Цікавим є застосування принципа Ферма для задач заломлення, коли світло падає на поверхню розділу двох речовин, у яких швидкість світла різна:
n = c/v,
де n – показник заломлення.

9. Статичні поля зарядів струмів.
Обчислюємо поля, що створюються розподілом зарядів або струмів. Одержуємо за методом релаксації розв’язок рівняння Лапласа і Адассона.
9.1.Вступ.
Дано q, v. Сила Лоренца діє на рухомий заряд, перший доданок сила Кулона.
F = q(E + [vB]), у точці знаходження заряду, можемо розрахувати рух зарядженої частинки.
9.2. Електричне поле і потенціал.
N-зарядів qi в ri. E(r) = K((qi/|r - ri|3)(r – ri)) – згідно принципу суперпозиції.
K = 1/40 = 3 *109 (H*м2/Кл2), 0 – діелектрична стала вакууму, e = 1.6*10-19 (Кл).
Кулон є великою одиницею і у розрахунках будемо вибирати різні одиниці.
Наочне представлення Е векторного поля є зображення силових ліній електричного поля:
1. Силова лінія є напрямленою лінією, дотична до якої в кожній точці паралельна полю.
2. Це гладкі і неперервні лінії за виключенням зарядів.
3. Число ліній пропорційне величині заряду.
Побудова ліній.
Беремо точку (x, y) обчислюємо Ех і Еу.
В точці будуємо відрізок S в напрямку Е,
х = S(Ех/|E|), =S(Еy/|E|)|
Продовжуємо поки лінія не піде до “ – “ заряду.
Починаємо малювати силові лінії поблизу позитивного заряду, так щоб число ліній було пропорційне заряду. Основні особливості програми стосуються графічних інструкцій. Розсіювання  – частинок на Au
a = K (2e79e/mб)(1/r2), mб = 6.65*10-27 кг, 1фм = 10-15(м), с = 3*108(м/с).
Часто зручніше розглядати енергії, а не сили. Для цього вводять поняття потенціалу:
v(r2) – v(r1) = - .
або  - напруженість поля мінус градієнт потенціалу.
v – скалярна величина і зміст має різниця потенціалів:
.
В одновимірному випадку Е = - dv/dx. Якщо v залежить від , то Е = - dv/dr
Напрямок Е співпадає з напрямком найскорішого зменшення електричного потенціалу.
Для точкового заряду  якщо .
Поверхня на якій потенціал приймає однакові значення називається еквіпотенціальною поверхнею. Лінії поля ортогональні до еквіпотенціальних ліній. Компоненти еквіпотенціалів рівні: , .
9.3. Магнетизм і силові лінії магнітного поля.
Поле В визначається законом Біо-Савара і має вигляд:

[I] = A; [B] = Тл; (Тл м)/А – магнітна проникність.
Це для ділянки струму, що знаходиться у початку координат. Для довільної ділянки довжиною , що знаходиться в точці , магнітне поле в точці :


.
Найважливіші задачі: провідник, петля, котушка.
9.4. Числовий розв’язок рівняння Лапласа.
Часто є відомим електричний потенціал на границях області. Нехай маємо систему провідників і кожний під’єднано до батареї. Легко визначити потенціали провідників. Для металу потенціал одинаковий. Однак, розподіл заряду визначити складно, бо він залежить від форми тіла.
Нехай задано потенціал на границі і потрібно знайти потенціал в точках, де немає заряду. Будемо знати , то знайдемо . Така задача називається краєвою.
Прямий метод базується на рівнянні Лапласа, яке має вигляд:
.
Для довільної форми провідників аналітичних методів немає. Скористаємося наближеними чисельними методами.
Для двовимірної сітки за відсутності зарядів потенціал визначається:
.
Тобто, значення у центральній дорівнює середньому за сусідніми комірками. Така властивість є аналог рівняння Лапласа. У правильності цієї формули можна переконатись для точкового заряду.
Метод релаксації базується на наступному алгоритмі:
Розбиваємо область сіткою із заданим потенціалом на границі.
Комірки ділимо на внутрішні і граничні, граничним приписуємо потенціал границі.
Внутрішнім приписуємо довільний потенціал, найкраще розумне початкове значення.
Приписуємо внутрішнім значення, усереднені за 4-ма сусідніми точками.
Повторюємо пункт 4, поки не досягнемо заданої точності.
Якщо область має заряди з об’ємною густиною , то використовуємо рівняння Пуассона:
,
   - густина зарядів.
Для двовимірного випадку:
.

10. Чисельне інтегрування
Ілюструємо класичні методи і метод Монте-Карло для оцінки чисельних інтегралів.
10.1. Прості одномірні методи чисельного інтегрування.
Ці методи (класичні) мають перевагу для малих розмірностей.
 
Геометрична інтерпретація інтегралу - площа під графіком у межах x = a до x = b, відрізок  ділимо на n відрізків довжиною :
де , і ,
Оцінка площі - сума площ прямокутників. Значення  обчислюється у початку відрізків і оцінка інтегралу  дається формулою:
.
10.2. Інший метод трапеції із сторонами у початку і кінці відрізка.
Тобто, f(x) замінюємо прямою, що сполучає значення f(x) в кінцях відрізка. Площа
.
Повна площа
.
Більшу точність дає квадратична, або параболічна інтерполяція за трьома точками

Площа під параболою між точками виражається формулою:

Повна площа всіх параболічних сегментів:
,
де n – має бути парним.
.
Точність методу прямокутників зростає, як  = , трапецій – n-2, парабол – n-4.
10.3.Чисельне інтегрування багатовимірних інтегралів.
Багато фізичних задач містять усереднення по багатьом змінним. Наприклад, середнє значення енергії системи частинок E(ri,pi), i =1, ..., n. Якщо розмірність простору N = 6n, а число точок на відрізку одного виміру p, то потрібно обчислити за pN точками суму.
Ще дуже складно визначати N-1 - межу інтегрування. Стандартні методи використовуються для N = 2 - 5.
Найпростіший метод оцінки багатовимірних інтегралів зводиться до послідовного взяття одновимірних інтегралів:
,
 і .
10.4. Обчислення інтегралів найпростішим методом Монте-Карло.
а) nS - число точок, для яких , - загальне число точок. Рівномірно розігруємо точки (xi, yi) , оцінка інтегралу є:

б) Ймовірнісна інтерпретація . Інтеграл - середнє значення функції, помножене на відрізок інтегрування. Розігруються, рівномірно, значення хі і розраховується значення f(xi).
10.5. Обчислення багатовимірних інтегралів методом Монте-Карло.
Для прикладу знайдемо центр мас і момент інерції двовимірного тіла:

Межі інтегрування визначаються геометрією тіла. Координати центра мас:
, .
Момент інерції навколо осі z:
.
Чисельна оцінка:

n - число точок, для яких - незалежні випадкові числа на відрізках
 і такі, що попадають у границі фігури.
Якщо для d = 1 - похибка апроксимації спадає, як n-a , то в d - вимірному випадку ця похибка спадає як n-a/d.
10.6. Аналіз похибки метода Монте-Карло.
Точність визначається кількістю випробувань в методі Монте-Карло або кількістю відрізків у класичних методах.
Для методу Монте-Карло похибка прямує до нуля, як .
Дисперсія є мірою похибки:
 - дисперсія одиничного виміру,
, , ,
 , .
Якщо б  не залежала від х, то .
 - дисперсія середнього.
Похибку можна зробити малою, збільшуючи число випробувань або збільшуючи ефективність випробувань.
10.7. Нерівномірний розподіл ймовірності.
Побачили, як можна рівномірний розподіл використовувати для оцінки інтеграла.
Однак, важливо вибірку підінтегральної функції частіше виконувати, у областях , де  велика або швидко змінюється. Для такої вибірки потрібен нерівномірний розподіл ймовірності. Розглянемо метод оберненого перетворення.
Введемо поняття щільності ймовірності p(x), при цьому  - ймовірність того, що випадкове число належить відрізку .
 нормується так, щоб
.
Нехай r – випадкове число, рівномірно розподілене на одиничному інтервалі [0,1] з густиною ймовірності:
.
Наше завдання знайти зв’язок між x i r, такий, що якщо r рівномірно розподілено, то х за законом p(x). Зв’язок встановлюють через інтегральну функцію розподілу:
,
де Р(x) – інтегральна функція розподілу, яка рівна ймовірності одержання випадкового числа меншого за х.
Зв’язок має вигляд:
.
Випадкова величина P(x) розподілена рівномовірно.
.
Ймовірність знайти x в інтервалі , рівна dP(x).
Співвідношення між dP(x) і dx можна знайти

отже в межах 0 r 1 маємо dP(x)=P(x) dx=Pu(r) dr
Бачимо, що х розподілено з бажаною густиною імовірності.
Приклади:
Згенеруємо рівномірно розподілені на [a, b] числа. Шукана густина

P(x) = r
x = P-1(r), , x= a + (в-a) r.
Змінна розподілена за законом (1), коли r—рівномовірне.
Інший випадок

Однак метод оберненого перетворення може бути не найефективнішим. Для використання методу має виконуватись два співвідношення, має братись інтеграл Р(х) і розв’язуватись співвідношення Р(х)=r відносно х.
Для  цього зробити не можна.
Однак можна згенерувати двовимірний гаусів розподіл

перейдемо до полярних координат.

знайдемо імовірність у вигляді:
.
 можемо генерувати розподілами за експоненційним законом, а  рівномірно в межах [0,2 ] то змінні  будуть розподілені за нормальним законом з нульовим середнім і дисперсією .
10.8. Вибірка за значимістю (суттєва вибірка).
Похибка методу Монте-Карло пропорційна , познайомимось з методом зменшення . Введемо додатню Р(х) таку, що  тоді
 
можна переписати у такому виді
.
Обчислимо інтеграл , виконуючи вибірку у відповідності до розподілу Р(х), при рівномірному Р(х)=1/(в-а).
Вибираємо Р(х), що веде себе подібно до f(x) там де f(x) велика, тому підінтегральний вигляд буде функцією, що слабо змінюється і дисперсія буде малою.
10.9 Метод випадкового блукання (метод Метрополіса)
Метод одержання не рівномірного розподілу полягає у тому , що деякі вибірки відкладаються.
Нехай хочемо генерувати змінні з розподілом Р(х).
Випадкове блукання задається імовірністю переходу w(xi xj) від одного xi до іншого xj для того, щоб розподіл точок x0, x1, x2,… сходився до Р(х).
Можна показати, що достатньо задовольняти умові детального балансу
Р(хі) w(xi xj)=P(хj) w(xj xi),
де співвідношення не задає однозначного w(xj xi).
Розглянемо найпростіший варіант
w(xj xi) = min .
Перехід можна описати наступними кроками, нехай пішохід знаходиться в точці з координатою хn.
Для отримання хn+1:
Вибираємо пробну координату xt = хn + n.
Обчислюємо w =
Якщо w 1, приймаємо цей перехід і кладемо хn+1=xt.
Якщо w<1, генеруємо випадкове r.
Якщо r w, приймаємо цей перехід і кладемо хn+1=xt.
Якщо r>w, не приймаємо і хn+1=xn.
 беруть таким, щоб приймалось від 1/3 до 1/2 кроків. Починають блукання з х для якого Р(х) максимальне.
Предыдущая страница 1 2


Використання комп ютерів у фізиці

Скачать реферат бесплатно


Постоянный url этой страницы:
http://referatnatemu.com/?id=15420&часть=2



вверх страницы

Рейтинг@Mail.ru
Copyright © 2010-2015 referatnatemu.com